Participación 2

Unidad IV Teoría de la Dualidad 
Participación 2:


Escriba el siguiente modelo en su forma dual haciendo uso de la definición de dualidad:

Max Z = 40x1 + 50x2 + 20x3 + 100x4

x1 + x2 + 5x3 ≤ 3

x1 + 9x2 + 3x3 + 5x4 ≤ -3

3x1 - 7x2 + 8x4  = 7

x1,x4 ≤ 0,       x2 ≥ 0,      x3 no restringida

Paso 1:  Aplicar equivalencias, para pasar a su forma canónica de max:

• Se anula la equivalencia 1, porque claramente el paso 1 para aplicar la definición de dualidad, aclara que debemos pasarlo a su forma maximizada, y como estamos trabajando con un problema max por ende se elimina esta equivalencia.

• Aplicamos la equivalencia 2, en las que sustituimos las variables para que sean ≥ 0

x1 = - x5    x4 = - x6    x3 = (x7 - x8)     x5, x6, x7, x8  ≥ 0

• Aplicamos la equivalencia 3, Toda igualdad de la forma Ax = b, puede escribirse como la intersección de dos desigualdades Ax ≤ b y Ax ≤ -b

-3x1 + 7x2 - 8x4  ≤ 7

3x1 - 7x2 + 8x4  ≤ -7

• Aplicamos la equivalencia 4 y 5, en la que construimos la forma canonica del modelo:

Max z = -40x5 + 50x2 + 20x7 - 20x8 - 100x6

-x5 + x2 + 5x7 - 5x8 ≤ 3

-x5 + 9x2 + x7 -x8 - x6 ≤ -3

3x5 + 7x2 + 8x6  ≤ 7

-3x5 - 7x2 - 8x6  ≤ -7

x2,x5, x6, x7, x8 ≥ 0

 

Paso 2 y paso 3:  Aplicar la definición de dual y aplicamos equivalencias para llevar el modelos a la estructura adecuada.

Min g = -3y1 + 3y2 - 7y3 + 7y3

y1 + y2 - 3y3 + 3y4 ≥  40

-y1 - 9y2 - 7y3 + 7y4 ≥  -50

- 8y3 + 8y4 ≥  -20

-5y1 + y2 ≥  20

5y1 + y2 - 8y3 + 8y4 ≥  100

y1,y2, y3, y4 ≥ 0